Calculadora Empujes de Tierra — Teoría de Rankine
La teoría de Rankine (1857) es la formulación clásica para calcular los empujes de tierra que un suelo ejerce sobre estructuras de contención. Esta calculadora entrega los coeficientes activo (Ka) y pasivo (Kp), el empuje total y el momento sobre la base del muro, considerando la altura del relleno, la pendiente de la superficie (β), la cohesión (c) y la presencia de napa freática. Es el punto de partida de cualquier diseño de muro de contención en edificación, obras viales y subterráneos.
¿Qué es y cuándo se aplica?
Rankine asume que el muro es vertical, el relleno tiene superficie plana con inclinación β respecto a la horizontal, no hay fricción entre muro y suelo, y el estado de falla se alcanza por plastificación del suelo. Bajo esas hipótesis entrega Ka (empuje activo, cuando el muro cede) y Kp (empuje pasivo, cuando el muro empuja contra el suelo). Se aplica a muros gravitatorios, muros en cantilever con relleno suelto, estribos de puente con relleno uniforme y muros de sótano con relleno horizontal. Para inclinación de muro distinta de vertical o fricción suelo-muro importante, se usa Coulomb.
Fórmulas aplicadas
Empuje activo (relleno horizontal, sin cohesión):
Ka = tan²(45° − φ/2) = (1 − sin φ) / (1 + sin φ)
Empuje pasivo: Kp = tan²(45° + φ/2) = 1/Ka
Rankine con pendiente β en el relleno:
Ka = cos β · (cos β − √(cos²β − cos²φ)) / (cos β + √(cos²β − cos²φ))
Empuje total (relleno seco, altura H):
Pa = 0,5 · γ · H² · Ka; Pp = 0,5 · γ · H² · Kp
Con cohesión: empuje activo σa = γ·z·Ka − 2·c·√Ka (grieta de tracción hasta zc = 2c / (γ·√Ka))
Con napa a profundidad d: bajo d, reemplazar γ por γ' = γsat − γw y agregar presión hidrostática u = γw · (z − d)
Ejemplo de cálculo
| Parámetro | Valor |
|---|---|
| Altura del muro H | 4,0 m |
| Peso unitario γ | 19 kN/m³ |
| Ángulo de fricción φ | 32° |
| Cohesión c | 0 |
| Pendiente superficie β | 0° (horizontal) |
| Nivel freático | No detectado |
| Sobrecarga q en coronamiento | 10 kPa (tránsito peatonal) |
Con φ = 32°: Ka = (1 − sin 32°) / (1 + sin 32°) = (1 − 0,530) / (1 + 0,530) = 0,470 / 1,530 = 0,307. Kp = 1/0,307 = 3,26. Empuje por peso propio del relleno: Pa1 = 0,5 · 19 · 4² · 0,307 = 0,5 · 19 · 16 · 0,307 = 46,7 kN/m. Empuje por sobrecarga (equivalente a un aumento uniforme σ = q·Ka a lo largo de la altura): Pa2 = q · Ka · H = 10 · 0,307 · 4 = 12,3 kN/m. Empuje total Pa = 46,7 + 12,3 = 59,0 kN/m. Punto de aplicación: Pa1 actúa a H/3 = 1,33 m desde la base; Pa2 actúa a H/2 = 2,0 m. Momento en la base M = 46,7 · 1,33 + 12,3 · 2,0 = 62,1 + 24,6 = 86,7 kN·m/m.
Resultado: Ka = 0,307 · Kp = 3,26 · Pa = 59,0 kN/m · M = 86,7 kN·m/m.
Interpretación de resultados
El muro debe dimensionarse para resistir Pa = 59 kN/m en la dirección horizontal y M = 87 kN·m/m de vuelco, además de verificar deslizamiento y capacidad portante. El empuje pasivo Kp es reserva para resistencia frente al deslizamiento pero suele limitarse a 1/2 o 1/3 de su valor teórico porque requiere desplazamientos grandes para movilizarse completamente. En zona sísmica (NCh 433), se suma el componente de Mononobe-Okabe.
Normativas de referencia
- NCh 3171.Of2017 — Diseño estructural — Fundaciones y muros de contención
- Rankine, W.J.M. (1857). On the stability of loose earth
- Eurocode 7 (EN 1997-1) — Geotechnical design
- AASHTO LRFD Bridge Design — Sección 11 muros y estribos
- NCh 433.Of1996 Mod.2012 — Diseño sísmico de edificios (para empuje sísmico)
Preguntas frecuentes
¿Cuándo uso Rankine y cuándo Coulomb?
Rankine: muro vertical, relleno inclinado β, sin fricción suelo-muro. Coulomb: muro inclinado, fricción suelo-muro δ ≠ 0, más general. En práctica Coulomb es más realista porque la fricción muro-suelo reduce el empuje activo 5-15 %. Rankine es conservador.
¿Puedo usar cohesión en el empuje activo?
Sí, pero hasta una profundidad zc el empuje es teóricamente negativo (tracción). En la práctica se desprecia ese tramo porque el suelo se agrieta por secado o estacionalidad. Se recomienda calcular empuje como si hubiera solo γ·z·Ka desde la superficie, ignorando el alivio por cohesión.
¿Qué pasa con sobrecarga uniforme en la coronación?
Una sobrecarga q se trata como un aumento constante de la tensión vertical. Su contribución al empuje es q·Ka·H (lineal con la altura) y actúa a H/2 desde la base. Si la sobrecarga es en una franja o puntual, se analiza con Boussinesq.
¿Cuándo se movilizan Ka y Kp completos?
Ka requiere desplazamientos relativos muy pequeños del orden de 0,001·H. Kp necesita desplazamientos mucho mayores (0,01-0,05·H) y por eso se usa con coeficiente reductor de 0,3-0,5 en diseño de muros. En estructuras rígidas (muros subterráneos restringidos arriba) se diseña con coeficiente K0 (en reposo) que es intermedio.